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February 14, 2018 | Topology | By admin | 0 Comments

By Prof. Dr. Karl Heinz Mayer (auth.)

ISBN-10: 3034892691

ISBN-13: 9783034892698

ISBN-10: 3764322292

ISBN-13: 9783764322298

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Wenn f ein Homoomorphismus ist, induziert f eine bijektive Abbildung zwischen den Zusammenhangskomponenten. Entsprechende Zusammenhangskomponenten werden dann unter f homoomorph aufeinander abgebildet. 9 zusammenhangend, und daher ist f(K(X» C K(f(x». b) Wenn f ein Homoomorphismus ist, dann gilt fiir jedes x EX, daB f(K(x» C K(f(x» und f-l(K(f(x») C K(x), also auch K(f(x» C f(K(x» und damit f(K(x» = K(J(x». Mit werde die von f induzierte Abbildung der Zusammenhangskomponenten bezeichnet, die definiert ist durch flK(x}) = K(J(x».

6 ist eine gute Illustration fur den Umgang mit diesem Begriff. Vor der Formulierung des nachsten Satzes werden folgende Bezeichnungen vereinbart. 4 Definition. Es seien (X, d) ein metrischer Raum, A, B Teilmengen von X und x EX. Ist A =1= 0, so wird der Abstand von x zu A definiert durch d(x,A) = inf{d(x,a) I a E A}. Ist A = 0, so setzt man d(x,0) = 00. Der Abstand der Teilmengen A und B wird definiert durch d(A, B) = inf {d( a, b) I a E A, b E B}, falls A und B beide nicht leer sind. Ist eine der beiden Mengen leer, so setzt man d(A, B) = 00.

4 Deftnition. Eine Familie (A~)~EA von Teilmengen einer Menge X besitzt die endliche Durchschnittseigenschaft (EDE), wenn fur alle endlichen Teilmengen K von A gilt n A~ =1= 0. 5 Satz. Fur jeden topologischen Raum X sind folgende A ussagen aquivalent: (i) X ist quasikompakt. 43 § 4. Kompakte Riiume (ii) Fur jede Familie (A>')>'EA von abge8chlo88enen Teilmengen von X, die die EDE be8itzt, i8t n A>. i- 0. >'EA (iii) Zu jeder Familie (A>')>'EA von abge8chlossenen Teilmengen von X mit n A>. = 0 exi8tiert eine endliche Teilmenge K C A mit n A>.

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by Edward
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